奥林匹克数学与“真正的”数学有多少相关性？

在本文中，我们将简要研究人们所说的奥林匹克数学和真实数学之间的相关性。

出现的第一个问题是奥林匹克数学到底是什么？

_{【图由轻抖云AI生成】}

这就是我们旅程的起点。

奥林匹克数学是一个民间传说术语，用于描述高中数学竞赛中常见的数学——或者人们称之为奥林匹克。奥林匹克数学主要包括以下四个分支：

• 代数
• 几何学
• 数论与
• 组合学

每个分支都有自己的子分支和不同类别的问题。奥数的主要特点是重深度轻广度。

高中生不应该熟悉拓扑学、多元微积分或范畴论等抽象主题。测试如此高级概念的知识是相当不合理的——因此，奥林匹克数学的重点是选择一小部分与学校教授的标准课程相关的数学子集，并毫不留情地对其进行扩展。

第一个陷阱来了：必须指出的是，最重要的数学竞赛——国际数学奥林匹克竞赛——是全球最难的竞赛之一。然而，它所包含的问题——每年有 6 个——通常都来自上述四个分支。作为参考，这里有一些人们所说的真实数学的分支：例如逻辑、代数、集合论和微积分。

……还有很多很多！

因此，一方面，我们的数学领域非常有限，其中结合了框架奥林匹克竞赛，另一方面，我们的竞争非常困难。这两者有何关联？

答案很简单——技术细节。这是关于奥运会的第一个陷阱。

数学的本质在于它的美丽、优雅与和谐。它们的广度，加上不同分支的交叉和相互作用，共同形成了伟大的数学家保罗·埃尔多斯（Paul Erdős）所谈论的美丽：

然而，尽管奥数本身就很美好，但大多数时候情况并非如此。正如我们所提到的，由于所考察的知识范围已经很小，而且竞赛异常艰难，因此技术性必须战胜优雅性。这是奥林匹克竞赛的冷酷事实——数学的技术方面往往会压倒纯粹的美感，从而导致更难的问题。

另一方面，对奥数的一个常见批评是，有时感觉太标准了。限时竞赛的问题在于，你只有有限的时间来解决特定数量的问题，而你事先就知道存在解决方案。

然而，这并不是现实，或者说研究数学的工作方式。研究数学基于猜想（即未解决的问题和假设）和无知。

几个世纪以来，数学家们一直试图通过用有趣的陈述提出新的未解决的问题来将这门科学推向极限，而他们完全不知道这些问题是真是假，甚至不知道是否可以解决。

现在是时候介绍数学史上的一位反英雄了。女士们先生们，库尔特·哥德尔。

_{【库尔特·哥德尔】}

奥地利数学家、逻辑学家和哲学家库尔特·哥德尔。被认为是有史以来最重要的逻辑学家之一。

虽然德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）说上帝给了我们数字，其他一切都是人类的工作， 但事实上，现在数学的基础甚至比上帝给我们的数字还要少。我们不会讨论太多细节，但重要的是要提到数学中有一些公理，这是我们在研究数学时理所当然的一组特定陈述。从公理我们可以推导出一些基本定理，然后是推论，然后是引理等等：公理 → 基本定理 → 推论 → 引理 → 更多定理 → …

但请注意，人们可以选择他想要使用的任何公理。如果一个人每次接受不同的公理，即不同的基本陈述，就会产生一套完全不同的定理，并随后产生一个完全不同的数学实体。

虽然所有这些听起来都很理论化，但我们现在回到哥德尔。

生活在上个世纪的哥德尔对数理逻辑领域做出了重大贡献 ，但其中最重要的贡献，简单来说，如下：无论你选择哪种公理来制定数学理论，总会存在一些无法解决的问题！

“无法解决”这个词并不意味着太难解决——它的意思是，在你愚蠢的数学家选择的公理内，这个特定的问题无法解决。

哥德尔的发现（现在被称为不完备性定理）最初引起了人们的复杂情感：敬畏、批评和钦佩。约翰·冯·诺依曼的话描述了这一发现所产生的影响：

库尔特·哥德尔在现代逻辑方面的成就是非凡的、具有里程碑意义的——事实上，它不仅仅是一座纪念碑，而是一个在遥远的空间和时间中仍然可见的里程碑。

……随着哥德尔的成就，逻辑学科无疑彻底改变了它的性质和可能性。

回到奥林匹克与研究数学的口头禅，人们现在可能会看到“无法解决”这个词背后隐藏着多少含义——许多数学家批评竞赛数学正是因为它们的确定性本质。你可能会解决问题，也可能不会，但你可以请放心，解决方案总是存在的。

然而，这种批评公平吗？

我可能有很大的偏见，因为我一生中（短暂的）十年都在研究奥林匹克数学，但我倾向于认为，所有这些对数学竞赛的批评首先是相当不公平的。

事实上，我认为这种比较本质上是错误的。

奥林匹克竞赛的目的并不是培养下一个欧拉、高斯或希尔伯特。

这是冷酷的事实。

引用国际数学奥林匹克竞赛（高中生的首屈一指的竞赛）的规定：

IMO 的目标是：

1）发现、鼓励和挑战各国有数学天赋的年轻人；

2）促进各国数学家之间的友好国际关系；

3) 为世界各地学校教学大纲和实践的信息交流创造机会；

4）全面推广数学。

没有提到参赛者在完成学业后会成为陶哲轩的崇拜者——因为这根本不是这些比赛的目的。在奥林匹克数学竞赛中，成功的研究人员和成功的参赛者之间肯定存在某种相关性，这一事实虽然只代表了一部分奥林匹克参赛者的特征，但证明他们确实实现了主要目标之一：识别和培养人才。

在短短几个小时内考察人才可能并不理想，但这是数学最好的方面，可以合理地向普通高中生讲授，而不会看到他们因为不知道 Riemman zeta 函数而流泪。

另一方面，我们提到的第一个缺点是奥运会涉及的技术细节。这可能是一个人在努力解决尽可能基本的问题时应该付出的代价——当然也有很好的例外，但大多数时候用如此基本的工具创建一个难题是世界上最困难的事情之一，而且它确实不是没有代价的。

总而言之，我认为奥林匹克运动会的意义在很大程度上被那些不太参与其中的人误解了。

多年来，我一直与参与其中的学生或教授交谈，他们对奥林匹克竞赛的看法都集中在一个深刻的信念上：最重要的因素是培养学生之间终生的友谊，以及对各种形式的永恒的爱。数学或科学。